Goshawker Ich habe es zwar hinbekommen, das die FP eingebunden wird, aber ich kann diese dann nur als root benutzen.

Du bist wahrscheinlich in eine der "Tücken" vom Mounten und Linux-Dateisystemen geraten.
Wenn du eine Festplatte(partition) formatierst mit z.B. ext4, dann muß das als root bzw. mit Rootrechten geschehen. Nach dem Format gibt es ja noch keine Ordner - trotzdem gibt es einen Eigentümer:Gruppe mit entsprechenden Rechten, und zwar für die Wurzel der Partition/Platte. Das ist dann root:root mit den Zugriffsrechten rwx:r-x:r-x. Am besten stellt man sich diese Wurzel als Punkt(.) vor, also wie das aktuelle Verzeichnis. Oder als Root(/) eben der Partition/Platte. Wichtig ist zu verstehen, daß dieses "unsichtbare" Verzeichnis (. oder /) direkt nach dem Formatieren eben o.a. Eigentümer/Rechte besitzt und dieses im Dateisystem der Platte/Partition gespeichert ist.

Beim Mounten kommt das dann gravierend zum Tragen: Wenn du etwas mountest, dann hängst du den Inhalt eines Dateisystems(Source) in einen Platz/Verzeichnis(Mountpoint) auf einem anderen Dateisystem/Device. Also bei dir z.B.:
UUID=SSD mit ext4 nach /media/ssd (was evtl. auf der Rootplatte mit dem System liegt und auch ext4)
Nach dem Mounten greifen dann durchgehend alle Berechtigungen von beiden Devices.

Aktuell kannst du als User wohl nach dem Mounten nicht auf /media/ssd/ schreiben. Das ist aus dem oben angeführten auch absolut zu erwarten und richtig.
Angenommen, du hättest wegen dem Problem /media/ssd schon deinem User übereignet oder Berechtigungen gesetzt, damit dieser Zugriff hat. Sagen wir:
Du : DeineGruppe 775 (rwxrwxr-x)
Ohne gemountete SSD kann dein User wunderbar auf /media/ssd schreibend zugreifen, kaum mountest du die SSD geht es nicht mehr. Warum?
Die Rechte für /media/ssd werden im Dateisystem der Root-Partition gespeichert. Beim Mounten der SSD werden diese Rechte nun "überschrieben" von den Rechten dieser o.a. ominösen "Wurzel oder Punkt" im (auch leeren) Dateisystem der SSD. Der Inhalt ersetzt komplett (auch Rechte) des Zielverzeichnisses.
Du kannst das wunderbar beobachten, wenn du ohne gemountete SSD dir die momentanen Rechte von /media/ssd anschaust, z.B. mit: stat /media/ssd in einem extra Terminal.
Da siehst du evtl. dann:
Zugriff: (0755/drwxr-xr-x) Uid: ( 1000/ deinname) Gid: ( 1000/ deinegruppe)
Wenn du nun z.B. mit: mount /media/ssd als root die SSD einbindest und dann nochmal das stat /media/ssd machst, dann gehört das Verzeichnis(=Einhängepunkt) ssd in /media plötzlich root:root
Wenn du die SSD wieder aushängst (umount /media/ssd), dann ist alles wieder beim alten.
Inhalt der Quelle ersetzt ALLES - eben den Inhalt des Einhängeverzeichnisses.

Wenn man es einmal "gerafft" hat, ist es vollkommen logisch ;-)

Die Abhilfe ergibt sich dann auch aus obigem: Da die Ursache ja die abgelegten Rechte im Dateisystem der SSD ist, müssen diese geändert werden. Nun wirst du sagen: Ja, aber wie mache ich das bei einem "leeren " Dateisystem? Ich kann ja kein chown/chmod auf das SSD-Dateisystem machen, es ist ja weder Ordner/Unterordner/Dateien drauf, die soll mein User ja erst erstellen können!!!?

Der Einhängepunkt ist das Entscheidende, und zwar wenn die SSD gemountet ist. Das ist (erinnere dich) quasi die "Wurzel" deiner SSD.
Du muß also (als root) nach dem Einhängen die Rechte für /media/ssd ändern.
Z.B. zum Komplettzugriff seines User:
chown username:gruppenname /media/ssd
chmod 755 /media/ssd
Diese Änderung muß nur einmalig gemacht werden, die Rechte werden ja (wegen s.o.) im Dateisystem der SSD gespeichert. Beim nächsten Mount werden diese dann wieder genutzt.
Verstanden?

Du könntest (ohne gemountete SSD) nun z.B. die Rechte für /media/ssd auch zum Eigentümer root:root ändern, d.h. als User kannst du nicht voll darauf zurgreifen. Sobald aber die SSD mit den obigen Rechte-Änderungen wieder eingehängt wird, dann "gehört" /media/ssd wieder deinem User...
Weil: Inhalt der Quelle ersetzt/überlagert alles im Ziel(mount)verzeichnis - sowohl evtl. vorhandene Dateien/Ordner als auch eben die Berechtigungen für/ab dem Mountpunkt.

Für den Eintrag in der /etc/fstab reicht das, was Gerry_Ghetto schrieb, also defaults.