Weder Wayland noch X(11) schreiben Logs, das sind Protokolle und keine Anwendungen. Was du meinst, ist der X-Server X.Org. Im Wayland-Universum wäre wohl der Compositor das Äquivalent dazu. (Bitte korrigiert mich jemand, falls ich falsch liege. Ich habe die Zusammenhänge jedenfalls so verstanden.) Bei KDE also KWin, bei Gnome ist es Mutter, Sway mit wlroots, Weston usw. Ich vermute mal, dass die meisten Wayland Compositors ihre Logs im Systemd journal ablegen werden.