Hallo, ich habe DaVinci Resolve bereits aus dem AUR und von der Website selbst heruntergeladen und konnte es in beiden Fällen ohne Probleme installieren, das einzige Problem ist, dass es sich nicht öffnet.

Ich würde das Programm mal in der Konsole ausführen und gucken was es dort zu lesen gibt.

…und ich würde eher in die Kommentare schauen, was es da zu lesen gibt.
Da finden sich nämlich eine Problembeschreibung sowie Handlungsempfehlungen als auch ein Patch, der das Problem lösen soll.